Nilai Maks/Min Trigonometri

Trigonometri adalah suatu cabang ilmu matematika yang mempelajari mengenai sudut, sisi, dan perbandingan antara sudut terhadap sisi.

Dasar yang digunakan dalam trigonometri adalah bangun datar segitiga.

Kita perlu mengetahui nilai maksimum dan mininum fungsi trigonometri jika ingin menguasai betul ilmu ini.

Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Trigonometri

Untuk setiap titik P(x,y), P(x,y) dalam fungsi trigonometri mempunyai hubungan:

• –r ≤ x ≤ r dan -r ≤ y ≤ r
• -1 ≤ x/ r ≤ 1 dan -1 ≤ y/ r ≤ 1
• -1 ≤ cos a ≤ 1 dan -1 ≤ sin a ≤ 1

Berdasarkan uraian di atas, maka bisa dikemukakan jika:

Nilai maksimum serta minimum fungsi sinus

• Fungsi sinus y = f(x) = sin x mempunyai nilai maksimum y_maks = 1 yang dicapai untuk x = 1/2π + k x 2π dengan k ∈ B serta nilai minimum y_min = -1 yang dicapai untuk x = 3/2π + k x 2π dengan k ∈ B.
• Fungsi kosinus y = f(x) = cos x  memiliki nilai maksimum y_maks = 1 yang dicapai untuk x = k x 360° dengan k ∈ B dan nilai minimum y_min = -1 yang dicapai untuk x = 180 + k x 360° dengan k ∈ B.

Secara umum bisa dikemukakan jika:

1. Apabila fungsi sinus y = f(x) = a sin( bx + c) + d, maka nilai maksimumnya y_maks = |a| + d dan nilai minimumnya adalah y_min = -|a| + d.
2. Apabila fungsi cosinus y = f(x) = a sin( bx + c) + d, maka nilai maksimumnya y_maks = |a| + d dan nilai minimumnya adalah y_min = -|a| + d.

Apabila y = f(x) merupakan fungsi periodik dengan nilai maksimum y_maks dan minimum y_min, maka amplitudonya ialah sebagai berikut:

1. Grafik fungsi baku f (x) = sin x; f(x) = cos x; dan f (x) = tan x 

Sinus

Kosinus

Tangen

2. Grafik fungsi f (x) = a sin x; f(x) = a cos x; dan f (x) = a tan x 

Diperoleh dari grafik trigonometri baku dengan cara mengalikan koordinat pada masing-masing titik pada grafik baku dengan bilangan a, sementara untuk absisnya tetap. Periode grafik tetap 2π untuk kosinus serta sinus. Sementara untuk periode tangen π.

Sinus

Misalnya a = 2, maka grafiknya adalah sebagai berikut:

Kosinus

Misalnya a = 2, maka grafiknya adalah sebagai berikut:

Tangen

Misalnya a = 2, maka grafiknya adalah sebagai berikut:

3. Grafik fungsi f (x) = a sin kx; f(x) = a cos kx; dan f (x) = a tan kx 

Diperoleh dari grafik trigonometri baku dengan cara mengalikan ordinat pada setiap titik di grafik baku dengan bilangan a, sementara periode grafik sinus dan kosinus menjadi:

2π/ |k|

Dan tangen

π/ |k|

Sinus

Misalnya  a = 1 dan k = 2, maka grafiknya adalah:

Kosinus

Misalnya a = 1 dan k = 2, maka grafiknya adalah:

Tangen

Misalnya a = 1 dan k = 3, maka grafiknya adalah:

** fungsi y = tan x digambarkan dengan garis putus-putus
** fungsi y = tan 3x digambarkan dengan garis penuh.

4. Grafik fungsi f (x) = a sin (kx ± b); f(x) = a cos (kx ± b); dan f (x) = a tan (kx ± b).

Diperoleh dari grafik trigonometri baku dengan cara mengalikan koordinat pada masing-masing titik pada grafik baku dengan bilangan a, sementara absisnya digeser sejauh:

b/ k

Apabila b positif, absis digeser kekiri. Serta apabila b negatif, absis digeser kekanan. Sementara untuk periode grafik sinus dan kosinus menjadi:

2π/ |k|

Dan tangen

π/ |k|

Sinus

Misalnya a = 1, k  = 1, dan b = + 30° , maka grafiknya akan menjadi:

Kosinus

Misalnya a = 1, k  = 1, dan b = + 30° , maka grafiknya akan menjadi:

5. Grafik fungsi f (x) = a sin (kx ± b) ± c; f (x) = a cos (kx ± b) ± c; dan f (x) = a tan (kx ± b) ± c.

Diperoleh dari grafik trigonometri baku dengan cara mengalikan koordinat pada masing-masing titik pada grafik baku dengan bilangan a, sementara absisnya digeser sejauh:

b/ k

Apabila b positif, absis digeser kekiri. Serta apabila b negatif, absis digeser kekanan. Koordinat diperoleh dengan menggeser titik koordinat grafik baku ke atas apabila c positif serta ke bawah apabila c negatif.

Sementara untuk periode grafik sinus dan kosinus menjadi:

2π/ |k|

Dan tangen

π/ |k|

Misalnya a = 1, k = 1, b = 0, serta c = 1 , maka grafik untuk sinusnya menjadi: